|
|
Управление Риском №4 - 2011
Финансовые инструменты регулирования
Журов Александр Николаевич
аспирант, Федеральное государственное образовательное учреждение Финансовый университет при Правительстве РФ, кафедра Прикладной математики
Поиск оптимальных инвестиционных стратегий в случае степенной и логарифмической функций полезности капитала
В статье рассмотрена задача выбора оптимальной инвестиционной стратегии. Классический вариант изучен в [Merton, 1969]. Предполагается, что ЛПР может инвестировать в два типа активов – безрисковый и рисковый. Динамика безрискового актива удовлетворяет динамике банковского счета. Рисковый актив обычно моделируется геометрическим броуновским движением. В данной статье в качестве модели динамики рискового актива используется процесс со сносом, диффузией и скачками. Таким образом, предполагается, что на финансовом рынке в редкие моменты времени происходят скачки в ценах рискового актива. При этом сам размер скачков в модели предполагается не случайным, а количество скачков моделируется пуассоновским процессом. Задача инвестора – максимизировать ожидаемую полезность капитала в заданный момент времени в будущем. Управляющим параметром является доля капитала, инвестируемого в рисковый актив. В работе получены точная формула оптимального управления для логарифмической функции полезности, а также существование оптимального управления для степенной функций полезности. Доказана монотонность оптимального управления по параметрам модели. Результаты получены только с помощью формулы Ито и стохастических интегралов Ито и Пуассона, что отличает данный результат от классических работ в данной области, использующих классический аппарат оптимального управления в стохастических условиях – уравнения Гамильтона –Якоби – Беллмана
оптимальное управление инвестиционные стратегии формула Ито
A search of optimal investment strategies in case of logarithmic and power utility functions of wealth
In this paper the problem of optimal investment strategy is considered. The classical investment problem appeared in [Merton, 1969]. It is supposed in this paper, that individual or company can invest its wealth in two types of assets – risk-free and risky. The dynamics of risk-free assets satisfies the dynamics of bank account. The price of risky asset is usually modeled by Geometric Brown motion. In recent paper the price of risky asset is modeled by random process with drift, diffusion and jumps. It is supposed, that in rare moments of time there exist jumps of price in risky asset. The size of jumps is not random, the quantity of jumps is modeled by Poisson process. The aim of investor is to maximize the expected utility of his wealth in given moment of time in future. The control parameter is a fraction of wealth, invested in risky asset. In this paper an accurate formula of optimal control in case of logarithmic utility function is obtained. Also we proved the existence of optimal control in case of power utility function. The monotonicity of optimal control with respect to parameters of the model is proved. The classical methods of solving this problem uses Hamilton-Jacobi-Bellman equation. In this paper we used Ito’s formula and properties of stochastic Ito’s and Poisson’s integrals to obtain results.
optimal control investment strategies Ito’s formula
|
